fbpx

© 2009-2020 by GPIUTMD

Оптимальний вибір замовлення

Виробник мопедів повинен зробити замовлення на двигуни на 1 місяць роботи у зовнішнього постачальника. Час виконання цього замовлення постачальником – 2 місяці. Компанія робить мопеди на замовлення й кількість зробленої продукції визначається числом замовлень на мопеди в даному місяці. Яке число замовлень компанія буде мати через 3 місяці (коли підійде замовлення від постачальника, яке треба зробити сьогодні) невідомо, але попередній досвід дозволяє оцінити ймовірність різних рівнів попиту. Дані представлені в таблиці 1.

Таблиця 1

Вихідні данні

Кількість двигунів    

200

300

400

500

600

700

Імовірність продажів

0,15

0,25

0,25

0,2

0,1

0,05

Якщо куплений двигун буде використовуватися в тому місяці, для якого він був куплений, він буде приносити прибуток 300 грн, якщо він залежується до наступного місяця, це призведе до збитків у розмірі 100 грн.

  1. Побудуйте таблицю виграшів і втрат. Використовуючи принцип максимуму очікуваної грошової віддачі (EMV) визначте:

– який оптимальний розмір замовлення?

– яка ціна досконалої інформації?

  1. Як зміниться оптимальне рішення, якщо втрати від невикористаного вчасно, двигуна складуть 300 грн? Як при цьому зміниться вартість досконалої інформації?
  2. Проаналізуйте, наскільки істотно зміниться рішення, якщо ймовірності відомі з точністю не більше 5 відсоткових пунктів.
  3. Порівняйте висновки, до яких приводять критерії максиміна та мінімаксу, з рішенням на основі максимуму EMV альтернативи.

Розв'язок

*Джерело: "Старченко Г. В. Управління проектами: теорія та практика : навч. посіб. / Г. В. Старченко. – Чернігів : видавець Брагинець О. В., 2018. – 306 с. "

Для того щоб побудувати таблицю виграшів і втрат необхідно визначитися, які значення попиту (сценарії майбутнього) ми будемо вважати можливими й з яких передбачуваних розмірів замовлення ми будемо вибирати оптимальний (альтернативи).

Приймемо, що даний в умові розподіл імовірностей попиту варто безпосередньо застосувати до місяця, що цікавить нас. В якості альтернатив розміру замовлення обираємо значення із таблиці 1.

Тоді таблиця виграшів і втрат буде мати 6х6=36 клітинок, у кожній з яких необхідно підрахувати фінансовий виграш або втрату.

Організуємо таблицю в MS Excel так, як показано на рисунку 1, фінансові результати повинні міститися в клітинках C4:H9. Їх можна підрахувати для кожного з 36 варіантів за допомогою формули.

При різних варіантах замовлення й попиту може виникнути дві принципово різні ситуації. Перша ситуація. Попит перевищив зроблене замовлення або в точності відповідав йому. У цьому випадку ми будемо продавати все, що в нас є в запасі на даний місяць і не більше цього.

 Рис. 1. Організація таблиці виграшів і втрат в MS Excel

Друга ситуація. Попит виявився нижче розміру замовлення. У цьому випадку частина закуплених двигунів залишиться на складі й принесе збитки. Ми будемо продавати стільки двигунів, якою є величина попиту, а різниця між розміром замовлення й попитом залишиться.

Щоб записати одну формулу для всіх випадків, будимо використовувати функцію =ЕСЛИ (..). В клітинці C4 напишемо:

=ЕСЛИ($B4<=C$3;$B4*$C$1;C$3*$C$1+($B4-C$3)*$F$1),

тобто якщо замовлення менше попиту або дорівнює йому, використаємо формулу =$B4*$C$1, а якщо ні – формулу = C$3*$C$1+($B4-C$3)*$F$1.

Поширивши цю формулу на всю таблицю, одержимо наступний результат (рис. 2).

 Рис. 2. Результат розрахунку в таблиці виграшів і втрат

З розрахунків видно, що якщо ми замовимо, наприклад, 600 двигунів, то з імовірністю 0,15 одержимо 20 тис. грн. З імовірністю 0,25 одержимо 60 тис. грн, з такою ж імовірністю 0,25 – 100 тис. грн, з імовірністю 0,2 – 140 тис. грн, з імовірністю 0,1 ми точно потрапимо в попит і одержимо 180 тис. грн. і, нарешті, з імовірністю 0,05 попит перевищить наше замовлення й ми одержимо ті ж 180 тис. грн, що й при попиті 600 двигунів.

Використовуючи ці дані можна оцінити очікувану грошову віддачу EMV для кожної альтернативи (значення розміру замовлення). Розрахуємо величину EMV для кожної альтернативи, використовуючи функцію =СУММПРОИЗВ(..). Для замовлення 700 двигунів функція буде мати вигляд:

=СУММПРОИЗВ($C$11:$H$11;C9:H9).

Посилання на рядок імовірностей фіксований. Помістимо цю формулу в клітинку I9 і простягнемо нагору до клітинки I4.

Величина EMV (рис. 3) з ростом замовлення змінюється немонотонно: спочатку росте від 60 тис. грн до 102 тис. грн, а потім зменшується до 90 тис. грн. Максимальна величина середнього прибутку – 102 тис. грн – відповідає замовленню 500 двигунів.

 Рис. 3. Результат розрахунку EMV в таблиці виграшів і втрат

Додаткова інформація здатна збільшити наш очікуваний прибуток і зменшити ризик втрат. В умовах невизначеності і ризику додаткова інформація, очевидно, збільшує шанси ОПР, на виграш і величину очікуваного виграшу. Досконала інформація це коли ймовірність помилки дорівнює 0%. Від людей неможливо отримати досконалу інформацію, яка стосується майбутнього. Будь-прогноз містить деяку помилку, будь-яке передбачення має деяку ймовірність не збутися. Обчислимо вартість досконалої інформації. Для цього спочатку, у рядку C10:H10 визначимо максимальні виграші при кожному сценарії майбутнього, використовуючи функцію =МАКС(..).

Для клітинки C10 формула буде виглядати в такий спосіб: =МАКС(C4:C9). При протягуванні формули вправо до клітинки H10, ми побачимо, що щораз із колонки прибутків вибирається значення клітинки, розташованої на діагоналі таблиці.

Ймовірності кожного рівня попиту залишаються первісними, тому ми можемо підрахувати EMV у гіпотетичному випадку володіння досконалою інформацією (тобто якщо щомісяця ми будемо мати точне значення попиту). Для цього просто простягнемо формулу з клітинки I9 вниз на одну клітинку (рис. 4).

 

Рис. 4. Результат розрахунку ціни досконалої інформації

Виявляється, унікальне джерело досконалої інформації, яке щомісяця повідомляє нам точні значення майбутнього попиту, збільшує наш очікуваний прибуток усього на 18% (одержимо 102 тис. грн замість 120 тис. грн). Ця величина і є вартість досконалої інформації EVPI, тобто верхня межа ціни, яку ми готові платити за інформацію при виборі з розглянутих альтернатив при даних сценаріях майбутнього.

Однак, досконалу інформацію (особливо про попит) одержати неможливо. Недосконала інформація (заснована на експертних оцінках) завжди носить імовірнісний характер і діє на статистичний розподіл імовірностей, змінюючи його в ту або іншу сторону. Наприклад, якщо наші експерти з відділу маркетингу говорять, що попит у наступному місяці буде вище звичайного, це, мабуть, означає, що ймовірності високого попиту повинні збільшитися, а ймовірності низького попиту, навпроти, зменшитися. У нашій таблиці (рис.4) ймовірність того, що попит не перевищить 400 двигунів, дорівнює 0,65 (0,15+0,25+0,25), а ймовірність того, що попит буде 500 двигунів і вище – 0,35. Тобто імовірність низького попиту майже вдвічі вище ймовірності високого. Припустимо, що інформація експертів вирівнює ці ймовірності. Тоді розподіл імовірностей можна записати, віднімаючи з перших трьох імовірностей по 0,05, і додаючи стільки ж до інших трьох (див. табл. 2).

Таблиця 2

Оцінка розподілу ймовірностей при обліку інформації

Попит

200

300

400

500

600

700

Ймовірності при підвищеному попиті

0,1

0,2

0,2

0,25

0,15

0,1

Ймовірності при зниженому попиті

0,2

0,3

0,3

0,15

0,05

0

У свою чергу, якщо попит у наступному місяці очікується нижче, ніж у поточному, ми можемо оцінити зміну розподілу ймовірностей, зменшивши ймовірності високого попиту й збільшивши, відповідно, імовірності низького.

Для знову отриманих розподілів імовірностей попиту потрібно повторити розрахунки максимального значення EMV. Скопіюємо побудовану раніше таблицю на два нових листи Excel (через команду Перемістити\Скопіювати...). Замінимо в цих листах імовірності на нові й одержимо наступний результат (рис. 5, 6).

 Рис. 5. Результат розрахунку EMV альтернатив при підвищеному попиті

 

 Рис. 6. Результат розрахунку EMV альтернатив при зниженому попиті

 Як ми можемо бачити, при підвищеному попиті (рис. 5) максимальне значення EMV (114 тис. грн) відповідає вибору або 500, або 600 двигунів.

При зниженому попиті (рис. 6) максимальне значення EMV (92 тис. грн) відповідає вибору 400 двигунів. Однак результат замовлення 500 двигунів усього на 2 тис. грн гірший. Це означає, що якщо ми будемо увесь час замовляти 500 двигунів і не станемо реагувати на сигнали про можливий підвищений або знижений попит, то фактично нічого не втратимо. Вибір 500 двигунів оптимальний і залишається таким навіть при значних варіаціях імовірностей сценаріїв майбутнього, що відображають можливі варіації попиту. Це невелике дослідження є відповіддю й на питання про те, чи змінюється оптимальне рішення, якщо врахувати, що всі ймовірності відомі нам з точністю не краще 5 процентних пунктів. Ми взяли два крайніх випадки того, як може виглядати правдивий розподіл імовірностей попиту й, обране початкове рішення – замовити 500 двигунів, практично не змінилося.

Поряд з розподілом імовірностей попиту великий вплив на прийняття рішення має відносна величина можливих втрат. Ми говоримо відносна, тому що значення має співвідношення величини прибутку від використання двигуну в кінцевому виробі й втрати від його зберігання протягом зайвого місяця. У початковій постановці задачі очікувані втрати в три рази менше, ніж прибуток. Через це оптимальний розмір замовлення виходить вище, ніж середнє значення щомісячного попиту. Розрахуємо середній попит.

Розрахунок середнього попиту робиться точно так само, як і EMV, тільки тепер значення попиту ми множимо на відповідні ймовірності. Додамо в порожню клітинку формулу:

=СУММПРОИЗВ($C$11:$H$11;C3:H3).

Результат обчислення виявляється рівним 400 двигунів. Таким чином, ми отримали оптимальний розмір замовлення в 500 двигунів при середньому попиті 400 двигунів (див. рис. 7). Це пов'язане з тим, що прибуток від своєчасного використання двигуна вище, ніж втрати від його зберігання протягом зайвого місяця.

У задачі запитується, як зміниться рішення, якщо втрати досягають 300 грн. При цьому розмір прибутку розраховуючи на один двигун дорівнює втратам. Можна припустити, що в цих умовах вигідніше всього виявиться замовлення, яке дорівнює середньому. Перевіримо це, змінивши у вихідній таблиці (рис. 1) величину втрат на  -0,3 тисячі грн. (рис. 7).

 Рис. 7. Результат розрахунку EMV при втратах -0,3 тис. грн.

Як ми бачимо, оптимальне замовлення, що відповідає максимальному значенню EMV = 87 тис. грн, дійсно дорівнює 400 двигунам. Побудована таблиця містить і іншу цікаву, з погляду формування замовлення, інформацію. Наприклад, з того, що EMV 81 тис. грн = 300 од., а EMV 78 тис. грн = 500 од., можна зробити висновок, що помилка у величині замовлення в меншу сторону обійдеться дешевше, ніж убік завищення.

У цілому ж умови бізнесу погіршилися. Можливі втрати, у випадку якщо ми завищили оцінку попиту, збільшилися. Тому очікуваний прибуток при оптимальному розмірі замовлення й став менше.

Тут же відзначимо й збільшену ціну досконалої інформації (EVPI = 33 тис. грн).

Це відповідає загальному принципу: чим вище ризик і ймовірні втрати, тим дорожче інформація. Вартість досконалої інформації обертається в нуль, якщо можливі втрати будуть дорівнювати нулю. Якщо інформація не приносить додаткових грошей вона нічого не коштує.

Останнє питання задачі фактично теж пов'язаний з точністю наявної у нас статистичної інформації. Припустимо, що статистики по мопедах у нас немає. Наведені значення ймовірностей ми взяли з даних про попит на який-небудь близький товар, з експертних оцінок, але зовсім не впевнені, що вони справедливі в нашім випадку. Спробуємо, у цій ситуації, використати оцінки за критеріями максиміна й мінімакса.

Оцінка за критерієм максиміна дуже проста й не вимагає яких-небудь змін у зроблених уже розрахунках. Повернемося до таблиці (див. рис. 4). Відповідно до критерію максиміна, для кожної альтернативи потрібно вибрати той сценарій майбутнього, при якому наш виграш мінімальний (це критерій песиміста – з нами трапиться саме гірше, яку б альтернативу ми не вибрали), а потім вибрати ту альтернативу, де це «саме гірше» краще всіх інших. У даному завданні, незалежно від обраної альтернативи, саме гірше – це найменший попит – 200 двигунів. Подивимося по таблиці, при якому замовленні прибуток для попиту 200 двигунів максимальний. Ясно, що це 60 тис. грн., і відповідає така величина прибутку замовленню 200 двигунів. Це і є оптимальне рішення за критерієм максиміна.

Для оцінки за критерієм мінімакса необхідно побудувати таблицю упущених можливостей. У цій таблиці на місці фінансового виграшу (або втрати) у кожній клітинці повинна міститися різниця між максимально можливим прибутком для даного рівня попиту (рядок C10:H10) і прибутком з таблиці C4:H9. Запишемо в клітинку C15 формулу =C$10-C4 і поширимо її на всю другу таблицю C15:H20 (рис. 8). Після цього нам потрібно вибрати для кожного розміру замовлення максимальні упущені можливості. Додамо до таблиці колонку «Максимальні втрати». Запишемо в клітинку I15 формулу =МАКС(C15:H15) і простягнемо її вниз до клітинки I20.

Таким чином, ми отримали максимальні упущені можливості для кожної альтернативи – розміру замовлення. Зверніть увагу, що ці упущені можливості мають різну природу. Всі числа вище діагоналі (тут упущені можливості дорівнюють нулю, тому що замовлення співпадає з попитом) – це неодержаний прибуток. Числа нижче діагоналі – прямі фінансові втрати. Відповідно до критерію максимакса ми повинні враховувати ці два види втрат на рівних підставах.

 Рис. 8. Результат розрахунку максимальних втрат

Величина максимальних упущених можливостей із збільшенням розміру замовлення теж міняється немонотонно – спочатку зменшується, а потім росте. Саме маленьке значення цієї величини – 40 тис. грн – відповідає замовленню в 600 двигунів. Відзначте, що вибір за критерієм мінімакса залежить тільки від співвідношення прибутків і втрат і не враховує розподіл імовірностей. Проте, у цьому випадку, вибір виявляється близьким до вибору відповідно до критерію максимуму EMV.


При використанні матеріалів сайту обов'язково вказуйте джерело!


 

На развитие сайта